1. Análisis de la condición dada:
Se tiene la expresión $\log_a 27 = b$. Sabemos que $27 = 3^3$, por lo tanto:
$$\log_a 3^3 = b$$
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia ($\log_x y^n = n \log_x y$):
$$3 \log_a 3 = b \implies \log_a 3 = \frac{b}{3}$$
Usando la propiedad del cambio de base o recíproco ($\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$):
$$\log_3 a = \frac{3}{b}$$

2. Transformación de la expresión a calcular:
Sea $E = \log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{a}$. Expresamos la base y el argumento en términos de potencias:
$$\sqrt{3} = 3^{1/2} \quad \text{y} \quad \sqrt[6]{a} = a^{1/6}$$
Sustituimos en $E$:
$$E = \log_{3^{1/2}} a^{1/6}$$

3. Aplicación de propiedades:
Utilizamos la propiedad $\log_{b^m} x^n = \frac{n}{m} \log_b x$:
$$E = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} \log_3 a$$
Simplificamos la fracción:
$$E = \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} \right) \log_3 a = \frac{1}{3} \log_3 a$$

4. Resultado final:
Sustituimos el valor de $\log_3 a$ hallado en el primer paso:
$$E = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{b} \right)$$
$$E = \frac{1}{b}$$

$$ \boxed{\log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{a} = \frac{1}{b}} $$