Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_062
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Paso 1:
Calcular $\log_{3} 5$ en términos de $a$ y $b$, dado que $\log_{6} 2 = a$ y $\log_{6} 5 = b$.
Calcular $\log_{3} 5$ en términos de $a$ y $b$, dado que $\log_{6} 2 = a$ y $\log_{6} 5 = b$.
Solución Paso a Paso
1. Estrategia:
Dado que los datos están en base 6, cambiaremos la base de la expresión objetivo ($\log_3 5$) a base 6.
2. Cambio de base:
$$ \log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3} $$
3. Análisis de componentes:
El numerador es dato directo: $\log_6 5 = b$.
Para el denominador, sabemos que $6 = 2 \cdot 3$, por lo tanto:
$$ \log_6 6 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3 = 1 $$
Sustituyendo el dato $\log_6 2 = a$:
$$ a + \log_6 3 = 1 \Rightarrow \log_6 3 = 1 - a $$
4. Resultado final:
Sustituimos ambos valores en la fracción inicial:
$$ \log_3 5 = \frac{b}{1 - a} $$
Resultado:
$$ \boxed{\log_3 5 = \frac{b}{1 - a}} $$
Dado que los datos están en base 6, cambiaremos la base de la expresión objetivo ($\log_3 5$) a base 6.
2. Cambio de base:
$$ \log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3} $$
3. Análisis de componentes:
El numerador es dato directo: $\log_6 5 = b$.
Para el denominador, sabemos que $6 = 2 \cdot 3$, por lo tanto:
$$ \log_6 6 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3 = 1 $$
Sustituyendo el dato $\log_6 2 = a$:
$$ a + \log_6 3 = 1 \Rightarrow \log_6 3 = 1 - a $$
4. Resultado final:
Sustituimos ambos valores en la fracción inicial:
$$ \log_3 5 = \frac{b}{1 - a} $$
Resultado:
$$ \boxed{\log_3 5 = \frac{b}{1 - a}} $$