1. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos el cambio de base a base 2, ya que es el dato proporcionado:
$$ \log_b N = \frac{\log_c N}{\log_c b} $$

2. Transformación de la expresión objetivo:
Cambiamos la base de $\log_{100} 40$ a base 2:
$$ \log_{100} 40 = \frac{\log_2 40}{\log_2 100} $$

3. Descomposición de términos:
Analizamos el numerador y el denominador por separado en base 2:
$$ \begin{array}{l} \text{Numerador: } \log_2 40 = \log_2(2^3 \cdot 5) = \log_2 2^3 + \log_2 5 = 3 + a \\ \text{Denominador: } \log_2 100 = \log_2(2^2 \cdot 5^2) = \log_2 2^2 + \log_2 5^2 = 2 + 2\log_2 5 = 2 + 2a \end{array} $$

4. Sustitución en la fórmula de cambio de base:
$$ \log_{100} 40 = \frac{3 + a}{2 + 2a} $$

Factorizando el denominador:
$$ \log_{100} 40 = \frac{a + 3}{2(a + 1)} $$

Resultado:
$$ \boxed{\log_{100} 40 = \frac{a + 3}{2a + 2}} $$