1. Definición de restricciones:
Para que los logaritmos y la base sean válidos, debemos cumplir:

• Argumento positivo: $x + y > 0$.


• Base positiva y distinta de uno: $x - y > 0$ y $x - y \neq 1$.

2. Transformación de la primera ecuación:
Aplicando la definición de logaritmo $\log_b a = c \iff b^c = a$:
$$(x - y)^2 = x + y \quad \text{--- (Ecuación 1)}$$

3. Sustitución desde la segunda ecuación:
De la segunda ecuación tenemos:
$$x = 2y + 1 \quad \text{--- (Ecuación 2)}$$
Sustituimos (Ecuación 2) en (Ecuación 1):
$$( (2y + 1) - y )^2 = (2y + 1) + y$$
$$(y + 1)^2 = 3y + 1$$
$$y^2 + 2y + 1 = 3y + 1$$
$$y^2 - y = 0$$
$$y(y - 1) = 0$$

4. Cálculo de los valores de $x$:

• Si $y_1 = 0 \implies x_1 = 2(0) + 1 = 1$.


• Si $y_2 = 1 \implies x_2 = 2(1) + 1 = 3$.

5. Verificación de restricciones:

• Para $(1, 0)$: Base $x - y = 1 - 0 = 1$. No es válida (la base debe ser $\neq 1$).


• Para $(3, 1)$:




• Argumento: $x + y = 3 + 1 = 4 > 0$ (Correcto).


• Base: $x - y = 3 - 1 = 2$ (Correcto: $>0$ y $\neq 1$).

Resultado final:
El sistema tiene una única solución:
$$(x, y) = (3, 1)$$