Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_045
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Enunciado
Resuelva la siguiente ecuación logarítmica y determine el conjunto solución real:
$$\log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3$$
$$\log_2(x + 2) + \log_2(x) = 3$$
Solución Paso a Paso
Paso 1: Establecer el dominio de la ecuación.
Para que los logaritmos existan en el campo de los números reales, sus argumentos deben ser positivos:
El dominio es $D: x \in (0, +\infty)$.
Paso 2: Aplicar la propiedad del producto.
$\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)$:
$$\log_2[(x + 2)(x)] = 3$$
$$\log_2(x^2 + 2x) = 3$$
Paso 3: Transformar a la forma exponencial.
$$x^2 + 2x = 2^3$$
$$x^2 + 2x = 8$$
Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática resultante.
$$x^2 + 2x - 8 = 0$$
Factorizando el trinomio:
$$(x + 4)(x - 2) = 0$$
Paso 5: Validar con el dominio.
Resultado: $x = 2$.
Para que los logaritmos existan en el campo de los números reales, sus argumentos deben ser positivos:
- $x + 2 > 0 \implies x > -2$
- $x > 0$
El dominio es $D: x \in (0, +\infty)$.
Paso 2: Aplicar la propiedad del producto.
$\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)$:
$$\log_2[(x + 2)(x)] = 3$$
$$\log_2(x^2 + 2x) = 3$$
Paso 3: Transformar a la forma exponencial.
$$x^2 + 2x = 2^3$$
$$x^2 + 2x = 8$$
Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática resultante.
$$x^2 + 2x - 8 = 0$$
Factorizando el trinomio:
$$(x + 4)(x - 2) = 0$$
Paso 5: Validar con el dominio.
- $x = -4$: No pertenece al dominio ($x > 0$). Se descarta.
- $x = 2$: Pertenece al dominio.
Resultado: $x = 2$.