Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_044
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Enunciado
Determine el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación de logaritmos anidados:
$$\log_2 \{1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)]\} = 1$$
$$\log_2 \{1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)]\} = 1$$
Solución Paso a Paso
Para resolver esta ecuación, aplicamos la definición de logaritmo $\log_b(a) = c \iff b^c = a$ de manera sucesiva desde el exterior hacia el interior:
1. Eliminamos el logaritmo exterior (base 2):
$$1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2^1$$
$$1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2$$
2. Despejamos el término con logaritmo de base 3:
$$\log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2 - 1$$
$$\log_3 [1 + \log_4 (x)] = 1$$
3. Eliminamos el logaritmo de base 3:
$$1 + \log_4 (x) = 3^1$$
$$1 + \log_4 (x) = 3$$
4. Despejamos el término con logaritmo de base 4:
$$\log_4 (x) = 3 - 1$$
$$\log_4 (x) = 2$$
5. Aplicamos la definición final:
$$x = 4^2$$
$$x = 16$$
Verificación: Si $x = 16$, entonces $\log_4(16)=2$, luego $1+2=3$, $\log_3(3)=1$, luego $1+1=2$, y finalmente $\log_2(2)=1$. El resultado es correcto.
1. Eliminamos el logaritmo exterior (base 2):
$$1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2^1$$
$$1 + \log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2$$
2. Despejamos el término con logaritmo de base 3:
$$\log_3 [1 + \log_4 (x)] = 2 - 1$$
$$\log_3 [1 + \log_4 (x)] = 1$$
3. Eliminamos el logaritmo de base 3:
$$1 + \log_4 (x) = 3^1$$
$$1 + \log_4 (x) = 3$$
4. Despejamos el término con logaritmo de base 4:
$$\log_4 (x) = 3 - 1$$
$$\log_4 (x) = 2$$
5. Aplicamos la definición final:
$$x = 4^2$$
$$x = 16$$
Verificación: Si $x = 16$, entonces $\log_4(16)=2$, luego $1+2=3$, $\log_3(3)=1$, luego $1+1=2$, y finalmente $\log_2(2)=1$. El resultado es correcto.