Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_039
Ejercicios de Logaritmos
Enunciado
Resolver: $\left( \frac{1}{\log_x a} \right)^{\log_a x} = b^{2b}$
a) $a^b$ b) $b^a$ c) $a$ d) $b$ e) $-a^b$
a) $a^b$ b) $b^a$ c) $a$ d) $b$ e) $-a^b$
Solución Paso a Paso
1. Propiedad: $\frac{1}{\log_x a} = \log_a x$
2. Desarrollo:
Sustituimos la base de la potencia:
$(\log_a x)^{\log_a x} = b^{2b}$
Observamos que $b^{2b} = (b^2)^b$. Sin embargo, para tener la forma $u^u = k^k$, podemos expresar $b^{2b}$ de otra forma.
Si $b = 2$, entonces $b^{2b} = 2^4 = 16$, lo cual es $2^2 \cdot 2^2 \dots$ No, la forma es $u^u$.
Probemos con $b^{2b} = (b^2)^b$. Si $b=2$, $(2^2)^2 = 4^2$.
Esto sugiere que $\log_a x = b^2$ si la expresión fuera $(b^2)^{b^2}$.
Pero analizando las opciones, si $x = a^b$, entonces $\log_a x = b$.
Sustituyendo: $b^b = b^{2b}$. Esto solo ocurre si $b=2b$ o $b=1$.
3. Resultado final:
2. Desarrollo:
Sustituimos la base de la potencia:
$(\log_a x)^{\log_a x} = b^{2b}$
Observamos que $b^{2b} = (b^2)^b$. Sin embargo, para tener la forma $u^u = k^k$, podemos expresar $b^{2b}$ de otra forma.
Si $b = 2$, entonces $b^{2b} = 2^4 = 16$, lo cual es $2^2 \cdot 2^2 \dots$ No, la forma es $u^u$.
Probemos con $b^{2b} = (b^2)^b$. Si $b=2$, $(2^2)^2 = 4^2$.
Esto sugiere que $\log_a x = b^2$ si la expresión fuera $(b^2)^{b^2}$.
Pero analizando las opciones, si $x = a^b$, entonces $\log_a x = b$.
Sustituyendo: $b^b = b^{2b}$. Esto solo ocurre si $b=2b$ o $b=1$.
3. Resultado final: