1. Datos y Propiedades:
Utilizaremos las siguientes reglas de logaritmos:

• $\log(a^n) = n \log a$
• $\log(ab) = \log a + \log b$
• Propiedad de intercambio: $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$
• Logaritmo de la base: $\log_{10} 10 = 1$

2. Desarrollo Pedagógico:

Paso 1: Transformar la ecuación (2).
Aplicamos logaritmos en base 10 a ambos lados de $5^{\log x} = 2^{\log y}$:
$$ \log x \cdot \log 5 = \log y \cdot \log 2 $$
Despejamos $\log y$:
$$ \log y = \frac{\log x \log 5}{\log 2} \quad \dots (\alpha) $$

Paso 2: Transformar la ecuación (1).
Aplicamos logaritmos a la primera ecuación:
$$ \log \left( (2x)^{\log 2} \right) = \log \left( (5y)^{\log 5} \right) $$
$$ \log 2 \cdot (\log 2 + \log x) = \log 5 \cdot (\log 5 + \log y) $$
Distribuyendo los términos:
$$ \log^2 2 + \log 2 \log x = \log^2 5 + \log 5 \log y \quad \dots (\beta) $$

Paso 3: Sustitución y simplificación.
Sustituimos $(\alpha)$ en $(\beta)$:
$$ \log^2 2 + \log 2 \log x = \log^2 5 + \log 5 \left( \frac{\log x \log 5}{\log 2} \right) $$
Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $\log 2$:
$$ \log^3 2 + \log^2 2 \log x = \log^2 5 \log 2 + \log x \log^2 5 $$
Agrupamos los términos que contienen $\log x$ en un solo miembro:
$$ \log x (\log^2 2 - \log^2 5) = \log^2 5 \log 2 - \log^3 2 $$
Factorizamos por diferencia de cuadrados y factor común:
$$ \log x (\log 2 - \log 5)(\log 2 + \log 5) = \log 2 (\log^2 5 - \log^2 2) $$
Notemos que $(\log 2 + \log 5) = \log(2 \cdot 5) = \log 10 = 1$. Además, $(\log^2 5 - \log^2 2) = -(\log^2 2 - \log^2 5)$.
$$ \log x (\log 2 - \log 5) (1) = -\log 2 (\log^2 2 - \log^2 5) $$
$$ \log x (\log 2 - \log 5) = -\log 2 (\log 2 - \log 5)(\log 2 + \log 5) $$
Cancelamos $(\log 2 - \log 5)$ en ambos lados (ya que es distinto de cero):
$$ \log x = -\log 2 (1) \implies \log x = \log(2^{-1}) $$
Por lo tanto: $x = 0,5$.

Paso 4: Hallar el valor de $y$ y el producto $xy$.
Sustituimos $\log x = -\log 2$ en $(\alpha)$:
$$ \log y = \frac{(-\log 2) \log 5}{\log 2} \implies \log y = -\log 5 $$
$$ \log y = \log(5^{-1}) \implies y = 0,2 $$
Finalmente, calculamos el producto solicitado:
$$ xy = (0,5) \cdot (0,2) = 0,1 $$

3. Representación Gráfica:

4. Conclusión:
El producto de las variables es un décimo.
$$ \boxed{xy = 0,1} $$
La respuesta correcta corresponde al inciso (c).