Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_037
Examen de Admisión
Enunciado
Resolver el sistema de ecuaciones logarítmicas y hallar el valor de $x$:
$$ \begin{cases} \log^2 (xy) - \log^2 \left( \frac{x}{y} \right) = 8 & (1) \\ 2^{\log x} = 4^{\log y} & (2) \end{cases} $$
$$ \begin{array}{lllll} \text{(a) } 100 & \text{(b) } \frac{1}{100} & \text{(c) } \frac{2}{50} & \text{(d) } 1 & \text{(e) } 300 \end{array} $$
$$ \begin{cases} \log^2 (xy) - \log^2 \left( \frac{x}{y} \right) = 8 & (1) \\ 2^{\log x} = 4^{\log y} & (2) \end{cases} $$
$$ \begin{array}{lllll} \text{(a) } 100 & \text{(b) } \frac{1}{100} & \text{(c) } \frac{2}{50} & \text{(d) } 1 & \text{(e) } 300 \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos y Propiedades:
Para resolver este sistema, utilizaremos las siguientes propiedades de los logaritmos y el álgebra:
2. Desarrollo Pedagógico:
Paso 1: Simplificar la ecuación (1).
Aplicamos las propiedades de producto y cociente dentro de los cuadrados:
$$ (\log x + \log y)^2 - (\log x - \log y)^2 = 8 $$
Reconocemos la estructura de la identidad de Legendre, donde $A = \log x$ y $B = \log y$:
$$ 4 \log x \cdot \log y = 8 $$
Dividiendo entre 4 en ambos miembros:
$$ \log x \cdot \log y = 2 \quad \dots (\alpha) $$
Paso 2: Simplificar la ecuación (2).
Expresamos el número 4 como una potencia de base 2 para igualar las bases de la ecuación exponencial:
$$ 2^{\log x} = (2^2)^{\log y} \implies 2^{\log x} = 2^{2 \log y} $$
Al tener la misma base, igualamos los exponentes:
$$ \log x = 2 \log y \quad \dots (\beta) $$
Paso 3: Resolver el sistema resultante.
Sustituimos el valor de $\log x$ de la ecuación $(\beta)$ en la ecuación $(\alpha)$:
$$ (2 \log y) \cdot \log y = 2 $$
$$ 2 \log^2 y = 2 \implies \log^2 y = 1 $$
Paso 4: Hallar el valor de $x$.
Sustituimos $\log y = 1$ en la ecuación $(\beta)$:
$$ \log x = 2(1) \implies \log x = 2 $$
Por definición de logaritmo:
$$ x = 10^2 \implies x = 100 $$
3. Representación Gráfica:
4. Conclusión:
El valor de la incógnita $x$ que satisface el sistema es 100.
$$ \boxed{x = 100} $$
Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso (a).
Para resolver este sistema, utilizaremos las siguientes propiedades de los logaritmos y el álgebra:
- Logaritmo de un producto: $\log(ab) = \log a + \log b$
- Logaritmo de un cociente: $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$
- Identidad de Legendre: $(A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB$
- Propiedad de bases exponenciales: $a^n = a^m \implies n = m$
2. Desarrollo Pedagógico:
Paso 1: Simplificar la ecuación (1).
Aplicamos las propiedades de producto y cociente dentro de los cuadrados:
$$ (\log x + \log y)^2 - (\log x - \log y)^2 = 8 $$
Reconocemos la estructura de la identidad de Legendre, donde $A = \log x$ y $B = \log y$:
$$ 4 \log x \cdot \log y = 8 $$
Dividiendo entre 4 en ambos miembros:
$$ \log x \cdot \log y = 2 \quad \dots (\alpha) $$
Paso 2: Simplificar la ecuación (2).
Expresamos el número 4 como una potencia de base 2 para igualar las bases de la ecuación exponencial:
$$ 2^{\log x} = (2^2)^{\log y} \implies 2^{\log x} = 2^{2 \log y} $$
Al tener la misma base, igualamos los exponentes:
$$ \log x = 2 \log y \quad \dots (\beta) $$
Paso 3: Resolver el sistema resultante.
Sustituimos el valor de $\log x$ de la ecuación $(\beta)$ en la ecuación $(\alpha)$:
$$ (2 \log y) \cdot \log y = 2 $$
$$ 2 \log^2 y = 2 \implies \log^2 y = 1 $$
Paso 4: Hallar el valor de $x$.
Sustituimos $\log y = 1$ en la ecuación $(\beta)$:
$$ \log x = 2(1) \implies \log x = 2 $$
Por definición de logaritmo:
$$ x = 10^2 \implies x = 100 $$
3. Representación Gráfica:
4. Conclusión:
El valor de la incógnita $x$ que satisface el sistema es 100.
$$ \boxed{x = 100} $$
Por lo tanto, la respuesta correcta es el inciso (a).