1. Datos del problema:

• Operadores logarítmicos inversos: antilogaritmo ($\text{antilog}$) y cologaritmo ($\text{colog}$).


• Variable a determinar: $x$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Definición de antilogaritmo: $\text{antilog}_b a = b^a$


• Definición de cologaritmo: $\text{colog}_b a = -\log_b a$


• Cambio de base y potencia: $\log_{b^n} b^m = \frac{m}{n}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Evaluar el logaritmo más interno.

$$\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{1/2}} 3^1 = \frac{1}{1/2} = 2$$
Sustituyendo en la expresión: $3 \log_{\sqrt{3}} 3 = 3(2) = 6$.

• Paso 2: Evaluar el cologaritmo.

$$\text{colog}_{\sqrt{6}} 6 = -\log_{\sqrt{6}} 6 = -\log_{6^{1/2}} 6^1 = -\frac{1}{1/2} = -2$$

• Paso 3: Evaluar el antilogaritmo del lado derecho.

$$\text{antilog}_2 (-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}$$

• Paso 4: Resolver la ecuación final para $x$.

Igualamos ambos lados de la ecuación original simplificada:
$$\text{antilog}_4 x = \frac{1}{4}$$
$$4^x = 4^{-1}$$
Por comparación de bases iguales:
$$x = -1$$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = -1} $$
El valor que verifica la igualdad es $-1$. La opción correcta es la (a).