1. Datos del problema:

• Bases iguales en el producto: $(\log b)$


• Sucesión de exponentes: $\log x, \log x^2, \dots, \log x^x$


• Lado derecho: $(\log b)^{x^2+x}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$


• $\log x^k = k \log x$


• Suma de los $n$ primeros números: $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Sumar los exponentes del lado izquierdo.

$$\text{Suma} = \log x + \log x^2 + \log x^3 + \dots + \log x^x$$
$$\text{Suma} = \log x + 2\log x + 3\log x + \dots + x\log x$$
$$\text{Suma} = (\log x) (1 + 2 + 3 + \dots + x)$$
Usando la fórmula de la suma:
$$\text{Suma} = (\log x) \left[ \frac{x(x+1)}{2} \right]$$

• Paso 2: Igualar exponentes con el lado derecho.

Como las bases son iguales ($\log b$), igualamos los exponentes:
$$\frac{x(x+1)}{2} \log x = x^2 + x$$
Factorizamos el lado derecho:
$$\frac{x(x+1)}{2} \log x = x(x+1)$$

• Paso 3: Despejar $x$.

Cancelamos $x(x+1)$ (ya que $x > 0$ por el logaritmo):
$$\frac{1}{2} \log x = 1 \implies \log x = 2$$
Por definición de logaritmo decimal (base 10):
$$x = 10^2 = 100$$

4. Resultado final:
El valor de $x$ es 100. La opción correcta es la b.