1. Datos del problema:

• Condición: $\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} = \frac{1}{a-c}$


• Expresión a hallar: $E = \frac{\log(a - b) + \log(b - c)}{\log(a - c)}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\log x + \log y = \log(xy)$


• $\log x^n = n \log x$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Trabajar la condición dada.

Sean $x = a - b$ y $y = b - c$. Notamos que $x + y = (a - b) + (b - c) = a - c$.
La ecuación se convierte en:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x+y}$$
Sumando fracciones:
$$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{x+y}$$
$$(x+y)^2 = xy$$

• Paso 2: Sustituir en la expresión $E$.

$$E = \frac{\log(x) + \log(y)}{\log(x+y)} = \frac{\log(xy)}{\log(x+y)}$$
Sustituimos $xy$ por $(x+y)^2$ según el Paso 1:
$$E = \frac{\log((x+y)^2)}{\log(x+y)}$$

• Paso 3: Simplificar.

$$E = \frac{2 \log(x+y)}{\log(x+y)} = 2$$

4. Resultado final:
El valor de $E$ es 2. La opción correcta es la b.