1. Datos del problema:

• Expresión base: $\sqrt[\log_{2} 3]{\log_{3} 135 - \log_{9} 25}$


• Exponente: $\log_{\sqrt[3]{0,125}} \sqrt{0,04}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$


• $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$


• $a^{\log_a b} = b$


• $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$


• Cambio de base: $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Simplificar el radicando de la base.

$$\log_3 135 - \log_9 25$$
Como $135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$:
$$\log_3 (3^3 \cdot 5) = \log_3 3^3 + \log_3 5 = 3 + \log_3 5$$
Como $9 = 3^2$ y $25 = 5^2$:
$$\log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \frac{2}{2} \log_3 5 = \log_3 5$$
Restando: $(3 + \log_3 5) - \log_3 5 = 3$.

• Paso 2: Simplificar la base completa.

$$\text{Base} = \sqrt[\log_{2} 3]{3} = 3^{\frac{1}{\log_2 3}}$$
Aplicando propiedad de cambio de base: $3^{\log_3 2} = 2$.

• Paso 3: Simplificar el exponente.

$$\text{Exp} = \log_{\sqrt[3]{0,125}} \sqrt{0,04}$$
Convertimos a fracciones: $0,125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ y $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.
$\text{Base del log} = \sqrt[3]{2^{-3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
$\text{Argumento} = \sqrt{5^{-2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
$$\text{Exp} = \log_{1/2} (1/5) = \frac{\log_2 5^{-1}}{\log_2 2^{-1}} = \frac{- \log_2 5}{-1} = \log_2 5$$

• Paso 4: Calcular $E$.

$$E = 2^{\log_2 5} = 5$$

4. Resultado final:
El valor de $E$ es 5. La opción correcta es la e.