Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_030
Problema resuelto (sistema con logaritmos y potencias)
Enunciado
Del sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \log_{x}y=x \qquad (I)\\ \vspace{6pt} x^{x^{x}} \cdot \log_{y}x = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} \qquad (II) \end{cases} $$
Halle el valor de $P = \log_{9}x + \log_{3}y$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } -\dfrac{1}{6} & \text{B) } \dfrac{1}{6} & \text{C) } -\dfrac{5}{6} & \text{D) } -\dfrac{3}{2} & \text{E) } -\dfrac{7}{6} \end{array} $$
$$ \begin{cases} \log_{x}y=x \qquad (I)\\ \vspace{6pt} x^{x^{x}} \cdot \log_{y}x = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} \qquad (II) \end{cases} $$
Halle el valor de $P = \log_{9}x + \log_{3}y$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } -\dfrac{1}{6} & \text{B) } \dfrac{1}{6} & \text{C) } -\dfrac{5}{6} & \text{D) } -\dfrac{3}{2} & \text{E) } -\dfrac{7}{6} \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos y restricciones:
Por definición de logaritmo: $x > 0, x \neq 1$ y $y > 0$.
2. Relación entre $x$ e $y$ desde (I):
De la primera ecuación, aplicamos la definición de logaritmo:
$$ \log_{x}y = x \iff y = x^{x} \qquad \dots (\beta) $$
3. Simplificación de la ecuación (II):
Sustituimos $y = x^{x}$ en la segunda ecuación. Notemos que $\log_{y}x = \log_{x^{x}}x = \frac{1}{x} \log_{x}x = \frac{1}{x}$:
$$ x^{x^{x}} \cdot \left( \frac{1}{x} \right) = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} $$
Aplicando leyes de exponentes ($x^{-1} = \frac{1}{x}$):
$$ x^{x^{x} - 1} = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} $$
Igualamos los exponentes:
$$ x^{x} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1 \implies x^x = 3^{-1/3} $$
4. Resolución de $x$ e $y$:
Sabemos que $x^x = 3^{-1/3}$. Podemos observar que:
$$ 3^{-1/3} = \left( \frac{1}{3} \right)^{1/3} $$
Por comparación o semejanza de formas, si $x = 1/3$:
$$ (1/3)^{1/3} = 3^{-1/3} $$
Por lo tanto, $x = 1/3$. De $(\beta)$, tenemos que $y = x^x = 3^{-1/3}$.
5. Cálculo de $P$:
Calculamos cada término por separado:
$$ \log_{9}x = \log_{3^2}(3^{-1}) = -\frac{1}{2} $$
$$ \log_{3}y = \log_{3}(3^{-1/3}) = -\frac{1}{3} $$
Sumamos los resultados:
$$ P = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{-3-2}{6} = -\frac{5}{6} $$
El valor de $P$ es $-5/6$.
$$ \boxed{P = -\frac{5}{6}} $$
Por definición de logaritmo: $x > 0, x \neq 1$ y $y > 0$.
2. Relación entre $x$ e $y$ desde (I):
De la primera ecuación, aplicamos la definición de logaritmo:
$$ \log_{x}y = x \iff y = x^{x} \qquad \dots (\beta) $$
3. Simplificación de la ecuación (II):
Sustituimos $y = x^{x}$ en la segunda ecuación. Notemos que $\log_{y}x = \log_{x^{x}}x = \frac{1}{x} \log_{x}x = \frac{1}{x}$:
$$ x^{x^{x}} \cdot \left( \frac{1}{x} \right) = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} $$
Aplicando leyes de exponentes ($x^{-1} = \frac{1}{x}$):
$$ x^{x^{x} - 1} = x^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-1} $$
Igualamos los exponentes:
$$ x^{x} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1 \implies x^x = 3^{-1/3} $$
4. Resolución de $x$ e $y$:
Sabemos que $x^x = 3^{-1/3}$. Podemos observar que:
$$ 3^{-1/3} = \left( \frac{1}{3} \right)^{1/3} $$
Por comparación o semejanza de formas, si $x = 1/3$:
$$ (1/3)^{1/3} = 3^{-1/3} $$
Por lo tanto, $x = 1/3$. De $(\beta)$, tenemos que $y = x^x = 3^{-1/3}$.
5. Cálculo de $P$:
Calculamos cada término por separado:
$$ \log_{9}x = \log_{3^2}(3^{-1}) = -\frac{1}{2} $$
$$ \log_{3}y = \log_{3}(3^{-1/3}) = -\frac{1}{3} $$
Sumamos los resultados:
$$ P = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{-3-2}{6} = -\frac{5}{6} $$
El valor de $P$ es $-5/6$.
$$ \boxed{P = -\frac{5}{6}} $$