Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_029
Problema escaneado (sistema con exponenciales y logaritmos)
Enunciado
Del sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} 27^{xy}= \sqrt[y]{\,3^{27}\,} \qquad (I)\\ \vspace{10pt} \log_{6}x+\log_{4}y=\dfrac{3}{2} \qquad (II) \end{cases} $$
Halle el valor de $x+y$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } \dfrac{7}{2} & \text{B) } \dfrac{37}{2} & \text{C) } \dfrac{19}{2} & \text{D) } \dfrac{109}{2} & \text{E) } \dfrac{73}{2} \end{array} $$
$$ \begin{cases} 27^{xy}= \sqrt[y]{\,3^{27}\,} \qquad (I)\\ \vspace{10pt} \log_{6}x+\log_{4}y=\dfrac{3}{2} \qquad (II) \end{cases} $$
Halle el valor de $x+y$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } \dfrac{7}{2} & \text{B) } \dfrac{37}{2} & \text{C) } \dfrac{19}{2} & \text{D) } \dfrac{109}{2} & \text{E) } \dfrac{73}{2} \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Análisis del dominio:
Para que los logaritmos estén definidos en $\mathbb{R}$, se debe cumplir que $x > 0$ y $y > 0$. Además, por la raíz $y$-ésima, $y$ debe ser un valor consistente con la definición de potencias de base positiva.
2. Transformación de la ecuación (I):
Expresamos ambos miembros en base $3$ para igualar los exponentes:
$$ (3^3)^{xy} = 3^{\frac{27}{y}} \implies 3^{3xy} = 3^{\frac{27}{y}} $$
Igualando los exponentes:
$$ 3xy = \frac{27}{y} \implies xy^2 = 9 \implies x = \frac{9}{y^2} \qquad \dots (\alpha) $$
3. Sustitución en la ecuación (II):
Sustituimos $x$ en la ecuación logarítmica y aplicamos propiedades:
$$ \log_{6}\left(\frac{9}{y^2}\right) + \log_{4}y = \frac{3}{2} $$
Aplicando la propiedad de la división y potencias en logaritmos:
$$ \log_{6} 9 - \log_{6} y^2 + \log_{4} y = \frac{3}{2} \implies \log_{6} 3^2 - 2\log_{6} y + \log_{4} y = \frac{3}{2} $$
$$ 2\log_{6} 3 - 2\log_{6} y + \log_{4} y = \frac{3}{2} $$
Para resolver, evaluamos valores convenientes que cumplan la igualdad. Si probamos con $y = \frac{1}{2} = 2^{-1}$:
$$ 2\log_{6} 3 - 2\log_{6} (2^{-1}) + \log_{4} (2^{-1}) = 2\log_{6} 3 + 2\log_{6} 2 - \frac{1}{2} $$
$$ 2(\log_{6} 3 + \log_{6} 2) - \frac{1}{2} = 2\log_{6}(3 \cdot 2) - \frac{1}{2} = 2(1) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
La igualdad se cumple, por lo tanto $y = \frac{1}{2}$.
4. Cálculo de $x$ y resultado final:
Sustituimos $y$ en $(\alpha)$:
$$ x = \frac{9}{(1/2)^2} = \frac{9}{1/4} = 36 $$
Finalmente, calculamos $x+y$:
$$ x + y = 36 + \frac{1}{2} = \frac{72+1}{2} = \frac{73}{2} $$
El valor de $x+y$ es $\frac{73}{2}$.
$$ \boxed{x+y = \frac{73}{2}} $$
Para que los logaritmos estén definidos en $\mathbb{R}$, se debe cumplir que $x > 0$ y $y > 0$. Además, por la raíz $y$-ésima, $y$ debe ser un valor consistente con la definición de potencias de base positiva.
2. Transformación de la ecuación (I):
Expresamos ambos miembros en base $3$ para igualar los exponentes:
$$ (3^3)^{xy} = 3^{\frac{27}{y}} \implies 3^{3xy} = 3^{\frac{27}{y}} $$
Igualando los exponentes:
$$ 3xy = \frac{27}{y} \implies xy^2 = 9 \implies x = \frac{9}{y^2} \qquad \dots (\alpha) $$
3. Sustitución en la ecuación (II):
Sustituimos $x$ en la ecuación logarítmica y aplicamos propiedades:
$$ \log_{6}\left(\frac{9}{y^2}\right) + \log_{4}y = \frac{3}{2} $$
Aplicando la propiedad de la división y potencias en logaritmos:
$$ \log_{6} 9 - \log_{6} y^2 + \log_{4} y = \frac{3}{2} \implies \log_{6} 3^2 - 2\log_{6} y + \log_{4} y = \frac{3}{2} $$
$$ 2\log_{6} 3 - 2\log_{6} y + \log_{4} y = \frac{3}{2} $$
Para resolver, evaluamos valores convenientes que cumplan la igualdad. Si probamos con $y = \frac{1}{2} = 2^{-1}$:
$$ 2\log_{6} 3 - 2\log_{6} (2^{-1}) + \log_{4} (2^{-1}) = 2\log_{6} 3 + 2\log_{6} 2 - \frac{1}{2} $$
$$ 2(\log_{6} 3 + \log_{6} 2) - \frac{1}{2} = 2\log_{6}(3 \cdot 2) - \frac{1}{2} = 2(1) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$
La igualdad se cumple, por lo tanto $y = \frac{1}{2}$.
4. Cálculo de $x$ y resultado final:
Sustituimos $y$ en $(\alpha)$:
$$ x = \frac{9}{(1/2)^2} = \frac{9}{1/4} = 36 $$
Finalmente, calculamos $x+y$:
$$ x + y = 36 + \frac{1}{2} = \frac{72+1}{2} = \frac{73}{2} $$
El valor de $x+y$ es $\frac{73}{2}$.
$$ \boxed{x+y = \frac{73}{2}} $$