Datos del problema
El sistema presenta logaritmos con bases que son potencias entre sí ($2$ y $4$, $3$ y $9$, $4$ y $16$).

Propiedad fundamental aplicada
Usaremos $\log_{a^k} u = \frac{1}{k} \log_a u$.

Paso 1: Unificación de bases
Reducimos cada ecuación a una sola base y eliminamos el logaritmo:

• Ecuación 1: $\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y + \frac{1}{2}\log_2 z = 2 \implies \log_2(x \sqrt{yz}) = 2 \implies x^2 yz = 2^4 = 16$
• Ecuación 2: $\log_3 y + \frac{1}{2}\log_3 z + \frac{1}{2}\log_3 x = 2 \implies \log_3(y \sqrt{zx}) = 2 \implies y^2 zx = 3^4 = 81$
• Ecuación 3: $\log_4 z + \frac{1}{2}\log_4 x + \frac{1}{2}\log_4 y = 2 \implies \log_4(z \sqrt{xy}) = 2 \implies z^2 xy = 4^4 = 256$

Paso 2: Multiplicación de las tres ecuaciones
Multiplicamos los resultados obtenidos:
$$ \begin{aligned} (x^2 yz) \cdot (y^2 zx) \cdot (z^2 xy) &= 16 \cdot 81 \cdot 256 \\ x^4 y^4 z^4 &= (2^4) \cdot (3^4) \cdot (4^4) \\ (xyz)^4 &= (2 \cdot 3 \cdot 4)^4 \\ xyz &= 24 \quad \text{--- (Relación Producto)} \end{aligned} $$

Visualización de las relaciones de potencia:
$$ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Ecuación} & \text{Forma Exponencial} & \text{Valor} \\ \hline (1) & x(xyz) = 16z & \text{Inconcluso} \\ (1) \cdot (2) \cdot (3) & (xyz)^4 & 24^4 \\ \hline \end{array} $$

Paso 3: Cálculo de $z$
Dividimos la tercera ecuación simplificada entre el producto total o despejamos:
Sabemos que $z^2 xy = 256$. Podemos reescribirlo como:
$$ \begin{aligned} z \cdot (xyz) &= 256 \\ z \cdot (24) &= 256 \\ z &= \frac{256}{24} \end{aligned} $$
Simplificando por 8:
$$ z = \frac{32}{3} $$

Resultado final
$$ \boxed{z = \frac{32}{3}} $$