1. Identificación de datos y propiedades:
Observamos que los términos de la suma son inversos entre sí. Para demostrar la desigualdad, utilizaremos las siguientes herramientas matemáticas:

• Cambio de base: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
• Desigualdad de la Media Aritmética y Geométrica (MA-MG): Para cualquier par de números reales positivos $a$ y $b$, se cumple que:
  $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$$
  Donde la igualdad ($=$) ocurre únicamente si $a = b$.

2. Transformación de la expresión:
Definamos una variable $x$ para simplificar el análisis:
Sea $x = \log_2 3$.
Por la propiedad del cambio de base, sabemos que:
$$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x}$$

Sustituyendo en la expresión original, el problema se reduce a demostrar que:
$$x + \frac{1}{x} > 2$$

3. Análisis de la variable $x$:
Para aplicar la desigualdad MA-MG, debemos verificar que $x$ sea positivo:
Dado que $3 > 2$ y la base del logaritmo es mayor a 1, entonces $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$.
Por lo tanto, $x > 1$ (lo cual implica que es positivo).

4. Aplicación de la desigualdad MA-MG:
Apliquemos la relación entre la media aritmética y la media geométrica para los números $x$ y $\frac{1}{x}$:
$$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$$
$$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{1}$$
$$x + \frac{1}{x} \geq 2$$

5. Verificación de la desigualdad estricta:
La propiedad establece que la igualdad $x + \frac{1}{x} = 2$ solo ocurre si $x = \frac{1}{x}$, lo que implicaría $x^2 = 1$, es decir, $x = 1$.
Sin embargo, en el paso 3 determinamos que $x = \log_2 3$. Como $3 \neq 2^1$, entonces $x \neq 1$.
Al ser $x \neq 1$, la desigualdad debe ser estrictamente mayor:
$$x + \frac{1}{x} > 2$$

Conclusión:
Sustituyendo $x$ por su valor original, queda demostrado que:
$$\log_2 3 + \log_3 2 > 2$$