Aprende con Inteligencia

Dado que $\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8} \cdots = \frac{\sin x}{x}$. Encuentra el valor de la suma:
$$ \frac{1}{2^2} \sec^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2^4} \sec^2 \frac{x}{4} + \cdots $$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ para la función:
$$ y = x^2 \arccos \frac{2}{x} $$

Resuelva los siguientes apartados teóricos:

1. [a)] Verifique el teorema de Rolle para la función $f(x) = 2x^3 - 3x - 2$ en el intervalo $x \in [-1, 2]$.
2. [b)] Calcule $y'|_{P(1,1)}$ en la expresión implícita: $y^x = x^y$.
3. [c)] Halle los valores $a, b$ para que $f(x)$ sea derivable en todos los reales:
   $$f(x) = \begin{cases} 3ax^2 + b & , x \ge 1 \\ x^4 - 1 & , x < 1 \end{cases}$$

Si $y = x^{(x^x)}$, entonces $\frac{dy}{dx}$ es:

a. $y[x^x (\log ex) \log x + x^x]$
b. $y[x^x (\log ex) \log x + x]$
c. $y[x^x (\log ex) \log x + x^{x-1}]$
d. $y[x^x (\log_e x) \log x + x^{x-1}]$

Paso 1:
$$y = -\frac{\cos x}{2 \text{sen}^2 x} + \frac{1}{2} \text{Ln} \left( \frac{1 + \cos x}{\text{sen} x} \right) + \frac{4\sqrt{x^6}}{x^3}$$

Encuentre la derivada de la siguiente función:
$y = 1/x^2$

Paso 1:
Sea: $f(x) = (x - |x+2| + 3)\sqrt{x+2}$. Si existe, halle: $f^{-1}(x)$

Encuentre $\frac{dy}{dx}$ si se cumple la relación:
$$y + \tan(y) = x + \sin(2x)$$

La ecuación $f(x) = x$ tiene:
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) } \text{tres raíces reales y positivas} & \text{(b) } \text{tres raíces reales y negativas} \\ \text{(c) } \text{una raíz real} & \text{(d) } \text{tres raíces reales tales que su suma es cero} \end{array} $$

Si $y = (\sin x)^{\tan x}$, entonces $\frac{dy}{dx} =$

$$ \begin{array}{ll} \text{a. } (\sin x)^{\tan x} (1 + \sec^2 x \log \sin x) & \text{b. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \cos x \\ \text{c. } (\sin x)^{\tan x} \sec^2 x \log \sin x & \text{d. } \tan x (\sin x)^{\tan x - 1} \end{array} $$

La función $f(x) = e^x + x$, siendo diferenciable y uno a uno, tiene una inversa diferenciable $f^{-1}(x)$. El valor de $\frac{d}{dx}(f^{-1})$ en el punto $f(\ln 2)$ es:

a. $\frac{1}{\ln 2}$ \\
b. $\frac{1}{3}$ \\
c. $\frac{1}{4}$ \\
d. ninguna de estas

Dadas las ecuaciones paramétricas $x = t \cos t$ y $y = t + \sin t$. Entonces el valor de $\frac{d^2x}{dy^2}$ en $t = \frac{\pi}{2}$ es:

a. $\frac{\pi + 4}{2}$      b. $-\frac{\pi + 4}{2}$      c. $-2$      d. ninguna de estas