1) Datos del problema:

• Ecuación exponencial: $2^{\frac{x}{10} + \frac{y}{10}} = 2^{\frac{7}{x}}$
• Ecuación logarítmica: $\log(x + y) = \log 40 - \log(x - y)$

2) Fórmulas utilizadas:

• Propiedad de exponentes: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
• Diferencia de logaritmos: $\log A - \log B = \log(A/B)$.
• Binomios conjugados: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

3) ✍ Desarrollo paso a paso:

Paso A: Simplificación de la ecuación exponencial
Igualando exponentes:
$$ \frac{x + y}{10} = \frac{7}{x} \implies x(x + y) = 70 \quad \text{--- (Ec. I)} $$

Paso B: Simplificación de la ecuación logarítmica
$$ \log(x + y) + \log(x - y) = \log 40 \implies \log[(x + y)(x - y)] = \log 40 $$
$$ x^2 - y^2 = 40 \quad \text{--- (Ec. II)} $$

Paso C: Relación entre variables
Dividimos la Ec. I entre la Ec. II para eliminar términos:
$$ \frac{x(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{70}{40} \implies \frac{x}{x - y} = \frac{7}{4} $$
Despejando $y$ en función de $x$:
$$ 4x = 7x - 7y \implies 7y = 3x \implies y = \frac{3x}{7} $$

Paso D: Hallar $x$
Sustituimos $y$ en la Ec. I:
$$ x \left( x + \frac{3x}{7} \right) = 70 \implies x \left( \frac{10x}{7} \right) = 70 $$
$$ \frac{10x^2}{7} = 70 \implies 10x^2 = 490 \implies x^2 = 49 \implies x = \pm 7 $$

4) Análisis de restricciones visualizado:
$$ \begin{array}{c|c|c} \text{Valor de } x & \text{Verificación } (x-y > 0) & \text{Estado} \\ \hline 7 & 7 - 3 = 4 > 0 & \text{Válido} \\ -7 & -7 - (-3) = -4 & \text{No válido} \\ \end{array} $$

5) ✅ Resultado final:
El valor de $x$ que satisface las condiciones de existencia de los logaritmos es $7$.
$$ \boxed{x = 7 \text{ (Opción E)}} $$