1) Datos y dominio:

• Restricciones: $x > 0$ y $y > 0$ por definición de raíz y logaritmo.
• Ecuación I: $2^{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = 512$
• Ecuación II: $\log\sqrt{xy} = 1 + \log 2$

2) Fórmulas y propiedades:

• Bases iguales: $2^9 = 512$.
• Identidad fundamental: $\log A = \log B \implies A = B$.

3) ✍ Desarrollo paso a paso:

Paso A: Simplificar Ecuación I
$$ 2^{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = 2^9 \implies \sqrt{x} + \sqrt{y} = 9 \quad \text{--- (Ec. 1)} $$

Paso B: Simplificar Ecuación II
$$ \begin{aligned} \log\sqrt{xy} &= \log 10 + \log 2 \\ \log\sqrt{xy} &= \log(10 \cdot 2) \\ \sqrt{xy} &= 20 \implies \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 20 \quad \text{--- (Ec. 2)} \end{aligned} $$

Paso C: Formar la ecuación auxiliar
Notamos que $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ son raíces de una ecuación cuadrática de la forma $t^2 - St + P = 0$, donde $S=9$ y $P=20$:
$$ t^2 - 9t + 20 = 0 \implies (t - 5)(t - 4) = 0 $$
Las soluciones para $t$ son $5$ y $4$.

Paso D: Determinar valores de $x$

• Caso 1: $\sqrt{x} = 5 \implies x_1 = 25$ (entonces $\sqrt{y}=4 \implies y=16$).
• Caso 2: $\sqrt{x} = 4 \implies x_2 = 16$ (entonces $\sqrt{y}=5 \implies y=25$).

4) Visualización de soluciones para $x$:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Variable} & \text{Valor 1} & \text{Valor 2} \\ \hline \sqrt{x} & 5 & 4 \\ \hline x & 5^2 = 25 & 4^2 = 16 \\ \hline \end{array} $$

5) ✅ Resultado final:
Suma de los valores de $x$:
$$ 25 + 16 = 41 $$
$$ \boxed{41 \text{ (Opción A)}} $$