I
MATU • Algebra
MATU_LOG_019
Ejemplo ilustrativo 13 - Grupo Editorial Megabyte
Enunciado
Resuelva la ecuación:
$$ \log_{x}(x+30)=2 $$
Opciones:
A) $\{10\}$ B) $\{5\}$ C) $\{30\}$ D) $\{15\}$ E) $\{6\}$
$$ \log_{x}(x+30)=2 $$
Opciones:
A) $\{10\}$ B) $\{5\}$ C) $\{30\}$ D) $\{15\}$ E) $\{6\}$
Solución Paso a Paso
Aplicamos la definición de logaritmo:
$$ \log_{x}(x+30)=2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2=x+30. $$
Llevamos la ecuación a forma estándar:
$$ x^2-x-30=0. $$
Factorizamos:
$$ (x-6)(x+5)=0. $$
Soluciones candidatas: $x=6$ o $x=-5$.
Análisis del dominio:
Por tanto, $x=-5$ no cumple por ser negativo.
Solución válida:
$$ x=6. $$
Resultado: $\{6\}$ (opción E).
$$ \log_{x}(x+30)=2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2=x+30. $$
Llevamos la ecuación a forma estándar:
$$ x^2-x-30=0. $$
Factorizamos:
$$ (x-6)(x+5)=0. $$
Soluciones candidatas: $x=6$ o $x=-5$.
Análisis del dominio:
- La base $x$ debe ser positiva y distinta de 1.
- Además, $x+30>0$ para que el argumento sea positivo.
Por tanto, $x=-5$ no cumple por ser negativo.
Solución válida:
$$ x=6. $$
Resultado: $\{6\}$ (opción E).