Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_018
Guía escaneada (problema 5)
Enunciado
Hallar el valor de $x$ en:
$$ \log_5 x+\log_5\!\left(1+\frac1x\right)+\log_5\!\left(1+\frac1{x+1}\right)+\cdots+\log_5\!\left(1+\frac1{x+40}\right)=3. $$
Opciones: a) $84$ b) $80$ c) $70$ d) $25$ e) NA
$$ \log_5 x+\log_5\!\left(1+\frac1x\right)+\log_5\!\left(1+\frac1{x+1}\right)+\cdots+\log_5\!\left(1+\frac1{x+40}\right)=3. $$
Opciones: a) $84$ b) $80$ c) $70$ d) $25$ e) NA
Solución Paso a Paso
Datos: Suma de logaritmos en base $5$ con términos consecutivos.
Propiedades a usar:
$$ \log_b A+\log_b B=\log_b(AB),\qquad 1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}. $$
Desarrollo:
$$ \begin{aligned} &\log_5\!\Bigg[x\prod_{k=x}^{x+40}\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\Bigg]=3 =\log_5\!\Bigg[x\prod_{k=x}^{x+40}\frac{k+1}{k}\Bigg]. \end{aligned} $$
El producto telescópico
$$ \prod_{k=x}^{x+40}\frac{k+1}{k}=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x+2}{x+1}\cdots\frac{x+41}{x+40}=\frac{x+41}{x}. $$
Entonces
$$ \log_5(x\cdot\tfrac{x+41}{x})=\log_5(x+41)=3. $$
Aplicando la definición de logaritmo:
$$ x+41=5^3=125 \;\Rightarrow\; x=125-41=84. $$
Resultado: $x=84$ (opción a).
Propiedades a usar:
$$ \log_b A+\log_b B=\log_b(AB),\qquad 1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}. $$
Desarrollo:
$$ \begin{aligned} &\log_5\!\Bigg[x\prod_{k=x}^{x+40}\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\Bigg]=3 =\log_5\!\Bigg[x\prod_{k=x}^{x+40}\frac{k+1}{k}\Bigg]. \end{aligned} $$
El producto telescópico
$$ \prod_{k=x}^{x+40}\frac{k+1}{k}=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x+2}{x+1}\cdots\frac{x+41}{x+40}=\frac{x+41}{x}. $$
Entonces
$$ \log_5(x\cdot\tfrac{x+41}{x})=\log_5(x+41)=3. $$
Aplicando la definición de logaritmo:
$$ x+41=5^3=125 \;\Rightarrow\; x=125-41=84. $$
Resultado: $x=84$ (opción a).