Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_015
Guía escaneada (problema 22)
Enunciado
Al resolver
$$ \big(\log_{4}x\big)^2-\log_{8}\!\big(x^{3}\big)=8, $$
señalar la menor raíz.
Opciones: a) $2^{-1}$ b) $2^{5}$ c) $2^{-4}$ d) $2^{-7}$ e) NA.
$$ \big(\log_{4}x\big)^2-\log_{8}\!\big(x^{3}\big)=8, $$
señalar la menor raíz.
Opciones: a) $2^{-1}$ b) $2^{5}$ c) $2^{-4}$ d) $2^{-7}$ e) NA.
Solución Paso a Paso
Sea $a=\log_{2}x$. Entonces $\log_{4}x=\dfrac{a}{2}$ y $\log_{8}(x^3)=3\log_{8}x=3\cdot\dfrac{a}{3}=a $.
La ecuación queda:
$$ \left(\frac{a}{2}\right)^2-a=8 \;\Rightarrow\; a^2-4a-32=0. $$
Resolviendo:
$$ a=\frac{4\pm\sqrt{16+128}}{2}=\frac{4\pm12}{2}\in\{8,-4\}. $$
Volviendo a $ x $:
$$ \log_{2}x=8\Rightarrow x=2^{8}=256, \qquad \log_{2}x=-4\Rightarrow x=2^{-4}=\frac1{16}. $$
Menor raíz: $x=2^{-4}$ (opción c).
La ecuación queda:
$$ \left(\frac{a}{2}\right)^2-a=8 \;\Rightarrow\; a^2-4a-32=0. $$
Resolviendo:
$$ a=\frac{4\pm\sqrt{16+128}}{2}=\frac{4\pm12}{2}\in\{8,-4\}. $$
Volviendo a $ x $:
$$ \log_{2}x=8\Rightarrow x=2^{8}=256, \qquad \log_{2}x=-4\Rightarrow x=2^{-4}=\frac1{16}. $$
Menor raíz: $x=2^{-4}$ (opción c).