Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_014
Guía escaneada (problema 21)
Enunciado
Hallar el valor de $x$ en
$$ \log_{2}(x-1)+\log_{2^{2}}\!\big[(x-1)^3\big]+\log_{2^{3}}(x-1)=17. $$
Opciones: a) $1$ b) $16$ c) $32$ d) $64$ e) $65$.
$$ \log_{2}(x-1)+\log_{2^{2}}\!\big[(x-1)^3\big]+\log_{2^{3}}(x-1)=17. $$
Opciones: a) $1$ b) $16$ c) $32$ d) $64$ e) $65$.
Solución Paso a Paso
Propiedades: $\log_{a^k}M=\dfrac{1}{k}\log_a M$ y $\log_a(M^n)=n\log_a M$.
Desarrollo:
$$ \begin{aligned} &\log_{2}(x-1)+3\log_{4}(x-1)+\log_{8}(x-1)\\ &=\log_{2}(x-1)+\frac{3}{2}\log_{2}(x-1)+\frac{1}{3}\log_{2}(x-1) = \frac{17}{6}\log_{2}(x-1). \end{aligned} $$
Entonces $\dfrac{17}{6}\log_{2}(x-1)=17 \Rightarrow \log_{2}(x-1)=6$ y
$$ x-1=2^{6}=64 \;\Rightarrow\; x=65. $$
Respuesta: $x=65$ (opción e).
Desarrollo:
$$ \begin{aligned} &\log_{2}(x-1)+3\log_{4}(x-1)+\log_{8}(x-1)\\ &=\log_{2}(x-1)+\frac{3}{2}\log_{2}(x-1)+\frac{1}{3}\log_{2}(x-1) = \frac{17}{6}\log_{2}(x-1). \end{aligned} $$
Entonces $\dfrac{17}{6}\log_{2}(x-1)=17 \Rightarrow \log_{2}(x-1)=6$ y
$$ x-1=2^{6}=64 \;\Rightarrow\; x=65. $$
Respuesta: $x=65$ (opción e).