1. Fórmulas y Propiedades

Para resolver la ecuación, se utilizarán las siguientes propiedades de los logaritmos:

• Regla de la potencia: $\log_b{(a^n)} = n \cdot \log_b{a}$
• Regla de la cadena (o cambio de base): $\log_b{a} \cdot \log_c{b} = \log_c{a}$. Una extensión de esta regla es $\log_b{a} \cdot \log_c{b} \cdot \log_d{c} = \log_d{a}$.
• Logaritmo de la base: $\log_b{b} = 1$
• Definición de logaritmo: $\log_b{a} = c \iff b^c = a$
• Igualdad de potencias: Si $b^x = b^y$, entonces $x = y$ (para $b>0, b \neq 1$).

2. Desarrollo paso a paso

Paso 1: Simplificar el lado izquierdo de la ecuación

Partimos de la ecuación original:
$$ \log_x{5^4} \cdot \log_4{x} \cdot \log_5{4} = 4^{\log_6{(x^2-5x+12)}} $$

Aplicamos la regla de la potencia al primer término del lado izquierdo (LI):
$$ 4 \log_x{5} \cdot \log_4{x} \cdot \log_5{4} = 4^{\log_6{(x^2-5x+12)}} $$

Reordenamos los factores en el LI para aplicar la regla de la cadena:
$$ 4 \cdot (\log_x{5} \cdot \log_5{4} \cdot \log_4{x}) = 4^{\log_6{(x^2-5x+12)}} $$

Aplicamos la regla de la cadena paso a paso:
$$ \underbrace{\log_x{5} \cdot \log_5{4}}_{\log_x{4}} \cdot \log_4{x} $$
$$ (\log_x{4}) \cdot \log_4{x} = \log_x{x} = 1 $$

Sustituyendo este resultado en la ecuación, el lado izquierdo se simplifica a 4:
$$ 4 \cdot (1) = 4^{\log_6{(x^2-5x+12)}} $$
$$ 4^1 = 4^{\log_6{(x^2-5x+12)}} $$

Paso 2: Igualar los exponentes

Dado que las bases en ambos lados de la ecuación son iguales (base 4), podemos igualar sus exponentes:
$$ 1 = \log_6{(x^2-5x+12)} $$

Paso 3: Resolver la ecuación logarítmica

Aplicamos la definición de logaritmo para convertir la ecuación a su forma exponencial:
$$ 6^1 = x^2-5x+12 $$
$$ 6 = x^2-5x+12 $$

Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática

Reordenamos la expresión para formar una ecuación cuadrática igualada a cero:
$$ x^2-5x+12-6 = 0 $$
$$ x^2-5x+6 = 0 $$

Factorizamos el trinomio:
$$ (x-3)(x-2) = 0 $$

$$ x_1 = 3 \quad ; \quad x_2 = 2 $$

Paso 5: Verificación de las soluciones
Es necesario comprobar si las soluciones son válidas en la ecuación original.

• Las bases de los logaritmos deben ser positivas y diferentes de 1. Para $\log_x{5^4}$, $x$ debe ser $x>0$ y $x \neq 1$. Ambas soluciones (2 y 3) cumplen esta condición.
• El argumento de los logaritmos debe ser positivo. Para $\log_4{x}$, $x>0$. Ambas soluciones lo cumplen. Para $\log_6(x^2-5x+12)$, el argumento $x^2-5x+12$ debe ser positivo. El discriminante de este trinomio es $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(12) = 25-48 = -23 < 0$, lo que significa que la parábola nunca corta el eje x y es siempre positiva. Por tanto, ambas soluciones son válidas.

3. Resultado final

Los valores de x que satisfacen la ecuación son:
$$ \boxed{x_1 = 3 \quad ; \quad x_2 = 2} $$