Dominio: $x-3>0 \Rightarrow x>3$. (Además $x^{2}-2x+5>0$ para todo $x$).

Propiedades: $\log 100=2$, $\log 10=1$, y $\log A-\log B=\log\!\left(\frac{A}{B}\right)$.

Desarrollo:
$$ 2+\log(x^{2}-2x+5)=1+\log(x-3)+2 $$
$$ \log(x^{2}-2x+5)-\log(x-3)=1 $$
$$ \log\!\left(\frac{x^{2}-2x+5}{x-3}\right)=1 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{x^{2}-2x+5}{x-3}=10. $$
$$ x^{2}-2x+5=10x-30 \;\;\Longrightarrow\;\; x^{2}-12x+35=0 $$
$$ (x-5)(x-7)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; x=5 \;\text{o}\; x=7. $$

Verificación con el dominio: $x>3 \Rightarrow x=5,7$ son válidos.

Resultado final:
$$ \boxed{x\in\{5,\,7\}}. $$