I
MATU • Algebra
MATU_LOG_001
2do Parcial Gestión I-2023 - Facultad de Ingeniería UMSA
Enunciado
Simplificar y hallar el valor de:
$$ E = \log_a b^2 \cdot \log_c a^2 \cdot \log_b c^5. $$
$$ E = \log_a b^2 \cdot \log_c a^2 \cdot \log_b c^5. $$
Solución Paso a Paso
Paso 1: Aplicar la propiedad de potencias del logaritmo
$\log_x y^n = n \log_x y$:
$$ E = 2\log_a b \cdot 2\log_c a \cdot 5\log_b c. $$
Paso 2: Reordenar los factores
$$ E = 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a. $$
Paso 3: Aplicar la regla de la cadena
$$ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c, $$
$$ \log_a c \cdot \log_c a = 1. $$
Paso 4: Sustituir el valor obtenido
$$ E = 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 20. $$
Resultado final:
$$ \boxed{E = 20} $$
$\log_x y^n = n \log_x y$:
$$ E = 2\log_a b \cdot 2\log_c a \cdot 5\log_b c. $$
Paso 2: Reordenar los factores
$$ E = 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a. $$
Paso 3: Aplicar la regla de la cadena
$$ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c, $$
$$ \log_a c \cdot \log_c a = 1. $$
Paso 4: Sustituir el valor obtenido
$$ E = 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 20. $$
Resultado final:
$$ \boxed{E = 20} $$