1. Uso de Identidades Trigonométricas:
Recordamos que $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$. Reescribimos la integral:
$$\int \tan^2 x (\tan^2 x) dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) dx$$
$$\int (\tan^2 x \sec^2 x - \tan^2 x) dx$$

2. Segunda Descomposición:
Aplicamos nuevamente la identidad a la segunda parte del integrando:
$$\int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int (\sec^2 x - 1) dx$$
$$\int \tan^2 x \sec^2 x dx - \int \sec^2 x dx + \int 1 dx$$

3. Integración Directa:

• Para $\int \tan^2 x \sec^2 x dx$, usamos el cambio $w = \tan x, dw = \sec^2 x dx \to \int w^2 dw = \frac{w^3}{3}$.


• La integral $\int \sec^2 x dx = \tan x$.


• La integral $\int 1 dx = x$.

Reuniendo los términos:
$$\frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$$

Resultado Final:
$$\int \tan^4 x dx = \frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x + x + C$$