1. Cambio de Variable:
Sea $u = e^x$, entonces $du = e^x dx \implies dx = \frac{du}{u}$.
La integral se transforma en:
$$\int \frac{1+u}{1-u} \cdot \frac{1}{u} du = \int \frac{1+u}{u(1-u)} du$$

2. Fracciones Parciales:
Descomponemos el integrando:
$$\frac{1+u}{u(1-u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u}$$
Multiplicando por el denominador común: $1+u = A(1-u) + Bu$.

• Si $u = 0$: $1 = A(1) \implies A = 1$.


• Si $u = 1$: $2 = B(1) \implies B = 2$.

Por lo tanto:
$$\int \left( \frac{1}{u} + \frac{2}{1-u} \right) du$$

3. Integración y Retorno a la Variable Original:
$$\int \frac{1}{u} du + 2 \int \frac{1}{1-u} du = \ln|u| - 2\ln|1-u| + C$$
Sustituyendo $u = e^x$:
$$\ln|e^x| - 2\ln|1-e^x| + C = x - 2\ln|1-e^x| + C$$

Resultado Final:
$$\int \frac{1+e^x}{1-e^x} dx = x - 2\ln|1-e^x| + C$$