1. Análisis de la serie:
Sea $S_n$ la suma de los términos en el lado derecho:
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}$$

2. Comparación de términos:
Observamos que para cualquier valor de $k$ tal que $1 \le k < n$, se cumple que:
$$\sqrt{k} < \sqrt{n}$$
Invirtiendo la desigualdad (ya que ambos son positivos):
$$\frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$$

3. Aplicación a la suma:
Si comparamos cada término de nuestra suma $S_n$ con el último término $\frac{1}{\sqrt{n}}$, tenemos:
$$ \begin{array}{rcl} 1 & > & \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & > & \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{1}{\sqrt{n-1}} & > & \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{\sqrt{n}} & = & \frac{1}{\sqrt{n}} \end{array} $$

Sumando todas estas relaciones (hay $n$ términos en total):
$$S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{n \text{ veces}}$$

$$S_n > n \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$$

Simplificando el lado derecho utilizando propiedades de exponentes ($\frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$):
$$S_n > \sqrt{n}$$

4. Representación visual de la comparación:
$$ \begin{array}{c} \text{Comparación de magnitudes} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Término} & \frac{1}{\sqrt{1}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \dots & \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \hline \text{Relación} & > \frac{1}{\sqrt{n}} & > \frac{1}{\sqrt{n}} & \dots & = \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Como al menos un término (de hecho todos los anteriores al último) es estrictamente mayor, la suma total es mayor que $\sqrt{n}$.

$$ \boxed{\sqrt{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}} $$