1. Datos y conceptos clave:
La desigualdad propuesta es la generalización de la desigualdad triangular. Para resolverla, utilizaremos el método de inducción matemática.
Propiedad base ($n=2$): Para cualquier par de números reales $x, y$, se cumple que $|x + y| \le |x| + |y|$.

2. Desarrollo por Inducción Matemática:

Paso 1: Base inductiva ($n=2$)
Como se mencionó, para $n=2$ la propiedad es un axioma o teorema básico del valor absoluto:
$$|a_1 + a_2| \le |a_1| + |a_2|$$

Paso 2: Hipótesis inductiva
Suponemos que la propiedad es válida para un número natural $k$:
$$|a_1 + a_2 + \dots + a_k| \le |a_1| + |a_2| + \dots + |a_k|$$

Paso 3: Tesis inductiva
Debemos demostrar que se cumple para $n = k + 1$. Agrupamos los primeros $k$ términos como un solo bloque:
$$| (a_1 + a_2 + \dots + a_k) + a_{k+1} |$$

Aplicamos la desigualdad triangular para dos términos (el bloque y el término $k+1$):
$$| (a_1 + \dots + a_k) + a_{k+1} | \le |a_1 + \dots + a_k| + |a_{k+1}|$$

Ahora, sustituimos la hipótesis inductiva en el primer término de la derecha:
$$|a_1 + \dots + a_k| + |a_{k+1}| \le (|a_1| + |a_2| + \dots + |a_k|) + |a_{k+1}|$$

3. Conclusión:
Por transitividad, hemos demostrado que:
$$|a_1 + a_2 + \dots + a_{k+1}| \le |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{k+1}|$$

$$ \boxed{|a_1 + a_2 + \dots + a_n| \leqslant \sum_{i=1}^{n} |a_i|} $$