1. Desarrollo por inducción:

Paso base ($n = 5$):
$$2^5 = 32$$
$$5^2 = 25$$
Como $32 > 25$, se cumple para $n=5$.

Paso inductivo:
Multiplicamos la hipótesis por $2$:
$$2 \cdot 2^k > 2k^2$$
$$2^{k+1} > 2k^2$$

Necesitamos verificar si $2k^2 > (k+1)^2$ para $k \geqslant 5$:
$$2k^2 > k^2 + 2k + 1 \Rightarrow k^2 - 2k - 1 > 0$$
Las raíces de $k^2 - 2k - 1 = 0$ son $1 \pm \sqrt{2} \approx 2.41$ y $-0.41$.
Para $k \geqslant 5$, la parábola $k^2 - 2k - 1$ es siempre positiva, por lo que $2k^2 > (k+1)^2$ es cierto.

Conclusión:
Por lo tanto, $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$, completando la prueba.

$$ \boxed{2^n > n^2 \quad \text{para } n \geqslant 5} $$