1. Datos y contexto:
El problema pide demostrar la relación entre la Media Armónica (MH) y la Media Geométrica (MG) para cuatro números reales positivos.

2. Propiedades a utilizar:
La desigualdad de las medias establece que para números positivos:
$$MH \leqslant MG \leqslant MA$$

3. Desarrollo paso a paso:
Sabemos que para cualquier conjunto de números positivos $\{x_1, x_2, x_3, x_4\}$, se cumple que la Media Aritmética es mayor o igual a la Media Geométrica:
$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \geqslant \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4}$$

Definamos $x_1 = \frac{1}{a}$, $x_2 = \frac{1}{b}$, $x_3 = \frac{1}{c}$ y $x_4 = \frac{1}{d}$. Sustituyendo:
$$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}{4} \geqslant \sqrt[4]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{d}}$$
$$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}{4} \geqslant \frac{1}{\sqrt[4]{abcd}}$$

Como todos los términos son positivos, podemos invertir la desigualdad (lo cual invierte el sentido del signo):
$$\frac{4}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \leqslant \sqrt[4]{abcd}$$

Jerarquía visual de las medias:
$$ \begin{array}{l} \text{Relación fundamental:} \\ \hline \underbrace{MH}_{\text{Armónica}} \leqslant \underbrace{MG}_{\text{Geométrica}} \leqslant \underbrace{MA}_{\text{Aritmética}} \\ \hline \frac{4}{\sum \frac{1}{x_i}} \leqslant \sqrt[4]{\prod x_i} \leqslant \frac{\sum x_i}{4} \end{array} $$

Resultado final:
La expresión original es la comparación directa entre la media armónica y la media geométrica de los números $a, b, c, d$.

$$ \boxed{\frac{4}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \leqslant \sqrt[4]{abcd}} $$