1. Datos y contexto:
Esta expresión representa la relación entre la Media Aritmética (MA) y la Media Cuadrática (MC). La propiedad general establece que para cualquier conjunto de números reales, la media aritmética es menor o igual a la media cuadrática.

2. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos la Desigualdad de Cauchy-Schwarz en su forma:
$$(\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2 \leqslant (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)(\sum_{i=1}^{n} y_i^2)$$

3. Desarrollo paso a paso:
Sean los vectores $\vec{u} = (a, b, c, d)$ y $\vec{v} = (1, 1, 1, 1)$. Aplicando Cauchy-Schwarz:
$$(a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 + d \cdot 1)^2 \leqslant (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2)$$
$$(a + b + c + d)^2 \leqslant (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(4)$$

Ahora, dividimos ambos miembros de la desigualdad entre $16$:
$$\frac{(a + b + c + d)^2}{16} \leqslant \frac{4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)}{16}$$
$$\left( \frac{a + b + c + d}{4} \right)^2 \leqslant \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}$$

Para obtener la expresión original, aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados (notando que el término de la izquierda puede ser negativo, pero la media cuadrática siempre es positiva por definición de la raíz):
$$\frac{a + b + c + d}{4} \leqslant \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}}$$

Representación de la jerarquía de medias:
$$ \begin{array}{|c|} \hline \text{Media Aritmética (MA)} \leqslant \text{Media Cuadrática (MC)} \\ \hline \frac{\sum x_i}{n} \leqslant \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:
La desigualdad queda demostrada. La igualdad se cumple si y solo si $a = b = c = d$.

$$ \boxed{\frac{a+b+c+d}{4} \leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}} $$