1. Propiedades utilizadas:
Utilizaremos la identidad algebraica para la suma de cubos de tres variables:
$$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) $$

2. Cambio de variable:
Sean $a = x^3, b = y^3, c = z^3$. Dado que $a, b, c \ge 0$, entonces $x, y, z$ también son no negativos.
La desigualdad a demostrar equivale a:
$$ \frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \ge xyz \implies x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0 $$

3. Análisis de la identidad:
De la identidad del paso 1, sabemos que:
$$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z) \cdot \frac{1}{2} [ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 ] $$
Como $x, y, z \ge 0$, el término $(x + y + z) \ge 0$.
Como los cuadrados son siempre $\ge 0$, el término en corchetes es $\ge 0$.

4. Conclusión:
El producto de dos factores no negativos es no negativo:
$$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0 $$
Sustituyendo $x = \sqrt[3]{a}, y = \sqrt[3]{b}, z = \sqrt[3]{c}$:
$$ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc} $$
Dividiendo entre 3 obtenemos la relación fundamental:
$$ \boxed{\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}} $$

Representación visual de la relación:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Media Aritmética (MA)} & \text{Media Geométrica (MG)} \\ \hline \frac{a + b + c}{3} & \sqrt[3]{abc} \\ \hline \end{array} $$
$$ \text{MA} \ge \text{MG} $$