1. Transformación de variables:
Para simplificar la expresión, definamos:
$$ x = \sqrt{a} \quad \text{y} \quad y = \sqrt{b} $$
Dado que $a, b > 0$, entonces $x, y > 0$. La desigualdad se transforma en:
$$ \frac{2xy}{x + y} \le \sqrt{xy} $$

2. Identificación de propiedades:
El término de la izquierda corresponde a la Media Armónica ($MH$) de $x$ e $y$, mientras que el de la derecha es la Media Geométrica ($MG$) de los mismos valores.
Sabemos por propiedad universal que $MH \le MG$.

3. Demostración algebraica:
Dividimos ambos lados por $\sqrt{xy}$ (que es positivo):
$$ \frac{2\sqrt{xy}}{x + y} \le 1 $$
$$ 2\sqrt{xy} \le x + y $$

Trasponemos términos:
$$ 0 \le x - 2\sqrt{xy} + y $$
$$ 0 \le (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 $$

Esta última expresión es siempre verdadera para cualquier valor real positivo de $x$ e $y$.

4. Conclusión:
Sustituyendo de vuelta $x = \sqrt{a}$ y $y = \sqrt{b}$ en la relación demostrada:
$$ \boxed{\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \le \sqrt[4]{ab}} $$