1. Razonamiento inicial:
Para comparar estas expresiones, elevaremos ambos miembros al cuadrado. Al ser $a$ y $b$ positivos, sus raíces cuadradas existen y la suma es positiva.

2. Desarrollo:
Elevamos al cuadrado el miembro izquierdo:
$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 $$
$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $$

Elevamos al cuadrado el miembro derecho:
$$ (\sqrt{a + b})^2 = a + b $$

Comparamos ambos resultados:
$$ a + b + 2\sqrt{ab} \quad \text{vs} \quad a + b $$

Restamos $(a + b)$ en ambos lados:
$$ 2\sqrt{ab} \quad \text{vs} \quad 0 $$

3. Análisis final:
Como se especifica que $a > 0$ y $b > 0$, el producto $ab$ es positivo, y por ende $2\sqrt{ab} > 0$. Esto confirma que:
$$ a + b + 2\sqrt{ab} > a + b $$

Por lo tanto, regresando a las raíces originales:
$$ \boxed{\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a + b}} $$