1. Identificación de conceptos:
La expresión del lado izquierdo corresponde a la Media Armónica ($H$) de dos números $a$ y $b$:
$$ H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $$
La expresión del lado derecho corresponde a la Media Geométrica ($G$) de los mismos números:
$$ G = \sqrt{ab} $$

2. Simplificación de la Media Armónica:
Operamos en el denominador:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} $$
Sustituimos en $H$:
$$ H = \frac{2}{\frac{a + b}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} $$

3. Demostración por diferencia de cuadrados:
Queremos probar que $H \leqslant G$:
$$ \frac{2ab}{a+b} \leqslant \sqrt{ab} $$
Como $a, b > 0$, podemos dividir ambos lados por $\sqrt{ab}$:
$$ \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} \leqslant 1 $$
Multiplicamos por $(a+b)$, que es positivo:
$$ 2\sqrt{ab} \leqslant a + b $$
Transponemos términos para formar un trinomio cuadrado perfecto:
$$ 0 \leqslant a - 2\sqrt{ab} + b $$
$$ 0 \leqslant (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $$

4. Análisis de consistencia:
Sabemos que cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero. Por lo tanto, $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ es siempre cierto para $a, b > 0$.

Resumen visual de medias:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Media Armónica (H)} & \leqslant & \text{Media Geométrica (G)} \\ \hline \frac{2ab}{a+b} & \leqslant & \sqrt{ab} \\ \end{array} $$

Conclusión:
La desigualdad se cumple para todo par de números reales positivos, alcanzándose la igualdad únicamente cuando $a = b$.
$$ \boxed{\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab}} $$