1. Identificación de la serie:
Sea $S_n$ la suma de los términos propuesta:
$$ S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n} $$

Observamos que la suma consta de exactamente $n$ términos, donde el denominador aumenta desde $n+1$ hasta $2n$.

2. Análisis de los términos:
En una fracción, a mayor denominador, menor es el valor de la fracción (para numeradores constantes positivos). Por lo tanto:
$$ \begin{array}{rcl} n+1 < 2n & \Rightarrow & \frac{1}{n+1} > \frac{1}{2n} \\ n+2 < 2n & \Rightarrow & \frac{1}{n+2} > \frac{1}{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ n+(n-1) < 2n & \Rightarrow & \frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n} \\ 2n = 2n & \Rightarrow & \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} \end{array} $$

3. Acotación de la suma:
Podemos comparar la suma original con una suma donde todos los términos sean iguales al término más pequeño ($\frac{1}{2n}$):
$$ S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \underbrace{\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \dots + \frac{1}{2n}}_{n \text{ veces}} $$

4. Cálculo del límite inferior:
Al sumar $n$ veces el valor $\frac{1}{2n}$, obtenemos:
$$ S_n > n \cdot \left( \frac{1}{2n} \right) $$
$$ S_n > \frac{n}{2n} $$
$$ S_n > \frac{1}{2} $$

Representación de la cota:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Términos de la suma } (S_n) & \text{Comparación con } \frac{1}{2n} \\ \hline \frac{1}{n+1} & > \frac{1}{2n} \\ \frac{1}{n+2} & > \frac{1}{2n} \\ \vdots & \vdots \\ \frac{1}{2n} & = \frac{1}{2n} \\ \hline \text{Suma Total} & > \frac{n}{2n} = 0.5 \\ \hline \end{array} $$

Conclusión:
Dado que todos los términos (excepto el último) son estrictamente mayores que $\frac{1}{2n}$ para $n \ge 2$, la suma total siempre será mayor que $1/2$.
$$ \boxed{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}} $$