1. Análisis del trinomio:
Primero, verifiquemos que la raíz cuadrada está definida para todo $a$. Analizamos el discriminante de $a^2 + a + 1$:
$$\Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = -3$$
Como $\Delta < 0$ y el coeficiente principal es positivo, $a^2 + a + 1 > 0$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

2. Cambio de variable:
Sea $u = \sqrt{a^2 + a + 1}$. Claramente $u > 0$.
Entonces, $u^2 = a^2 + a + 1$.
El numerador puede escribirse como:
$$a^2 + a + 2 = (a^2 + a + 1) + 1 = u^2 + 1$$

3. Reescritura de la desigualdad:
Sustituyendo en la expresión original:
$$\frac{u^2 + 1}{u} \geq 2$$
$$u + \frac{1}{u} \geq 2$$

4. Justificación:
Como se estableció en el ejercicio anterior, para cualquier número real positivo $u$, la suma de dicho número y su recíproco es siempre mayor o igual a 2. La igualdad ocurre si y solo si $u = 1$, lo cual sucede cuando $a^2 + a + 1 = 1$, es decir, $a(a+1) = 0 \implies a=0$ o $a=-1$.

5. Conclusión:
$$ \boxed{\frac{a^2 + a + 2}{\sqrt{a^2 + a + 1}} \geq 2} $$