1. Identificación de datos y propiedades:
El problema nos pide demostrar una desigualdad que involucra logaritmos con bases intercambiadas. Utilizaremos las siguientes propiedades:

• Propiedad del cambio de base: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
• Propiedad de la suma de un número positivo y su recíproco: Si $x > 0$ y $x \neq 1$, entonces $x + \frac{1}{x} > 2$.

2. Transformación de la expresión:
Sea $x = \log_2 3$. Aplicando la propiedad del cambio de base, tenemos que:
$$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x}$$

Sustituyendo en la expresión original:
$$x + \frac{1}{x} > 2$$

3. Análisis del valor de $x$:
Sabemos que $x = \log_2 3$. Como la base $2$ es mayor que $1$ y el argumento $3$ es mayor que la base ($3 > 2$), entonces:
$$\log_2 3 > \log_2 2 \implies x > 1$$

Dado que $x > 1$, es evidente que $x$ es un número real positivo y $x \neq 1$.

4. Demostración por desigualdad de medias (AM-GM):
Para cualquier número real positivo $x \neq 1$, la media aritmética es estrictamente mayor que la media geométrica:
$$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} > \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$$
$$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} > \sqrt{1}$$
$$x + \frac{1}{x} > 2$$

5. Conclusión:
Como $x = \log_2 3$ y $1/x = \log_3 2$, queda demostrado que:
$$ \boxed{\log_2 3 + \log_3 2 > 2} $$