1. Definición y planteamiento:
El factorial de $n$ se define como $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n-1) \cdot n$.
Queremos demostrar que $(n!)^2 \geq n^n$, lo cual es equivalente a la expresión original elevando ambos miembros al cuadrado.

2. Propiedad de los productos simétricos:
Consideremos el cuadrado del factorial escribiéndolo en orden directo e inverso:
$$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n $$
$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 $$

Al multiplicar término a término:
$$ (n!)^2 = \prod_{k=1}^n k(n - k + 1) $$

3. Análisis del término general:
Sea $f(k) = k(n - k + 1) = nk - k^2 + k$. Queremos ver si este término es mayor o igual a $n$.
Analicemos la diferencia:
$$ k(n - k + 1) - n = nk - k^2 + k - n $$
$$ = n(k - 1) - k(k - 1) = (n - k)(k - 1) $$

Para $1 \leq k \leq n$, los factores $(n-k)$ y $(k-1)$ son siempre mayores o iguales a cero.
Por lo tanto, $(n-k)(k-1) \geq 0$, lo que implica que:
$$ k(n - k + 1) \geq n $$

4. Conclusión final:
Como cada uno de los $n$ productos en $(n!)^2$ es $\geq n$:
$$ (n!)^2 = [1 \cdot n] \cdot [2 \cdot (n-1)] \cdot \dots \cdot [n \cdot 1] \geq \underbrace{n \cdot n \cdot \dots \cdot n}_{n \text{ veces}} $$
$$ (n!)^2 \geq n^n $$

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados (ambos son positivos):
$$ \sqrt{(n!)^2} \geq \sqrt{n^n} $$
$$ \boxed{n! \geq n^{n/2}} $$