1. Análisis de los datos:
Se nos indica que $a$ y $b$ son números reales positivos ($a, b > 0$). Debemos demostrar una desigualdad entre fracciones.

2. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos la propiedad de que si $x > 0$ y $y > 0$, entonces la función $f(x) = \frac{x}{1+x}$ es una función creciente. Además, trabajaremos con la manipulación algebraica de los numeradores.

3. Desarrollo paso a paso:

Podemos expresar el término de la izquierda descomponiendo el numerador:
$$ \frac{a+b}{1+a+b} = \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b} $$

Ahora, comparemos cada una de estas fracciones con los términos del lado derecho de la desigualdad original:

• Para la primera fracción: Como $b > 0$, entonces $1 + a + b > 1 + a$. Al ser los denominadores positivos, al aumentar el denominador la fracción disminuye:
  $$ \frac{a}{1+a+b} < \frac{a}{1+a} $$
• Para la segunda fracción: Como $a > 0$, entonces $1 + a + b > 1 + b$. De igual manera:
  $$ \frac{b}{1+a+b} < \frac{b}{1+b} \ $$

4. Conclusión:
Sumando ambas desigualdades obtenidas:
$$ \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b} < \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} $$

Lo que resulta en:
$$ \boxed{\frac{a+b}{1+a+b} < \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b}} $$