1. Análisis de la expresión:
Observemos el lado derecho de la desigualdad:
$$0.5(a+c) + 0.5(b+d) = \frac{a+c}{2} + \frac{b+d}{2} = \frac{a+b+c+d}{2}$$
Por lo tanto, la desigualdad a demostrar es:
$$\sqrt{(a+b)(c+d)} \leqslant \frac{(a+b) + (c+d)}{2}$$

2. Aplicación de la Desigualdad MA-MG:
Sea $X = (a+b)$ y $Y = (c+d)$. La propiedad de la media aritmética y geométrica indica que:
$$\sqrt{XY} \leqslant \frac{X+Y}{2}$$
Sustituyendo $X$ y $Y$:
$$\sqrt{(a+b)(c+d)} \leqslant \frac{(a+b) + (c+d)}{2}$$

3. Reordenamiento de términos:
Podemos agrupar los términos del numerador de forma conveniente para que coincida con la pregunta original:
$$\frac{a+b+c+d}{2} = \frac{a+c}{2} + \frac{b+d}{2} = 0.5(a+c) + 0.5(b+d)$$

4. Representación lógica:
$$ \begin{array}{l} \text{Término Izquierdo (MG): } \sqrt{(a+b)(c+d)} \\ \text{Término Derecho (MA): } \frac{(a+b) + (c+d)}{2} \\ \hline \text{Relación: } \text{MG} \leqslant \text{MA} \end{array} $$

Resultado Final:
$$ \boxed{\sqrt{(a+b)(c+d)} \leqslant 0.5(a+c) + 0.5(b+d)} $$