1. Identificación del principio matemático:
Para resolver este problema, utilizaremos la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica (MA-MG), la cual establece que para números reales no negativos $x_1, x_2, \dots, x_n$:
$$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$$
Para el caso de dos variables ($n=2$), la relación es:
$$\frac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy} \implies x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$$

2. Aplicación por factores:
Aplicamos la desigualdad MA-MG a cada uno de los cuatro paréntesis del lado izquierdo:

• Para $(a + 1)$: Como $a \geqslant 0$ y $1 > 0$, entonces $a + 1 \geqslant 2\sqrt{a \cdot 1} = 2\sqrt{a}$
• Para $(b + 1)$: Como $b \geqslant 0$ y $1 > 0$, entonces $b + 1 \geqslant 2\sqrt{b \cdot 1} = 2\sqrt{b}$
• Para $(c + a)$: Como $c \geqslant 0$ y $a \geqslant 0$, entonces $c + a \geqslant 2\sqrt{ca}$
• Para $(b + c)$: Como $b \geqslant 0$ y $c \geqslant 0$, entonces $b + c \geqslant 2\sqrt{bc}$

3. Multiplicación de las desigualdades:
Dado que todos los términos son no negativos, podemos multiplicar las cuatro desigualdades obtenidas:
$$(a + 1)(b + 1)(c + a)(b + c) \geqslant (2\sqrt{a})(2\sqrt{b})(2\sqrt{ca})(2\sqrt{bc})$$

4. Simplificación del producto:
Operamos el producto de los coeficientes y las raíces:
$$(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot \sqrt{a \cdot b \cdot ca \cdot bc} = 16\sqrt{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}$$
Como $a, b, c \geqslant 0$, la raíz cuadrada simplifica a $abc$:
$$16\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 16abc$$

Resultado Final:
$$ \boxed{(a + 1)(b + 1)(c + a)(b + c) \geqslant 16abc} $$