Utilizaremos nuevamente la propiedad de la media aritmética y geométrica (MA $\geqslant$ MG) para dos términos.

1. Planteamiento de desigualdades individuales:
Para cada factor del producto, aplicamos la propiedad $\frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$:
$$ \begin{array}{rcl} (1) & a + b \geqslant 2\sqrt{ab} \\ (2) & b + c \geqslant 2\sqrt{bc} \\ (3) & a + c \geqslant 2\sqrt{ac} \end{array} $$

2. Multiplicación de las inecuaciones:
Como todos los términos son no negativos, podemos multiplicar las tres expresiones miembro a miembro:
$$ (a + b)(b + c)(a + c) \geqslant (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac}) $$

3. Resolución del producto derecho:
Multiplicamos los coeficientes y las raíces:
$$ (a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8 \sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} $$
$$ (a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8 \sqrt{a^2 b^2 c^2} $$

Dado que $a, b, c$ son no negativos, $\sqrt{a^2 b^2 c^2} = abc$. Por lo tanto:
$$ \boxed{(a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8abc} $$