Consideramos que $m, n, k$ pertenecen al conjunto de los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.

1. Transformación de la expresión:
Dado que $m, n, k$ son positivos (mínimo 1), podemos dividir ambos miembros de la desigualdad entre el producto $mnk$ sin que el sentido de la inecuación cambie:
$$ \frac{mn + mk + nk}{mnk} \leqslant \frac{3mnk}{mnk} $$

2. Simplificación por fracciones parciales:
Repartimos el denominador en cada término del numerador:
$$ \frac{mn}{mnk} + \frac{mk}{mnk} + \frac{nk}{mnk} \leqslant 3 $$
Simplificando cada fracción:
$$ \frac{1}{k} + \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leqslant 3 $$

3. Análisis de valores:
Como $m, n, k$ son números naturales, el valor mínimo que pueden tomar es 1. Por lo tanto:
$$ \begin{array}{l} \text{Si } m, n, k \geqslant 1 \implies \frac{1}{m} \leqslant 1, \quad \frac{1}{n} \leqslant 1, \quad \frac{1}{k} \leqslant 1 \end{array} $$
Al sumar estas tres condiciones:
$$ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} \leqslant 1 + 1 + 1 = 3 $$

Esto demuestra que la desigualdad original siempre se cumple para números naturales.
$$ \boxed{mn + mk + nk \leqslant 3mnk} $$