Para resolver este problema, utilizaremos la desigualdad de la media aritmética y la media geométrica (MA-MG), la cual establece que para cualquier par de números reales no negativos $x$ e $y$:
$$ \frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{xy} \implies x + y \geqslant 2\sqrt{xy} $$

1. Aplicación de la propiedad:
Aplicamos esta desigualdad para los pares $(a,b)$, $(b,c)$ y $(a,c)$:
$$ \begin{array}{rcl} (1) & a + b \geqslant 2\sqrt{ab} \\ (2) & b + c \geqslant 2\sqrt{bc} \\ (3) & a + c \geqslant 2\sqrt{ac} \end{array} $$

2. Suma de las inecuaciones:
Sumamos miembro a miembro las tres inecuaciones obtenidas:
$$ (a + b) + (b + c) + (a + c) \geqslant 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ac} $$

3. Simplificación:
Agrupamos los términos semejantes en el lado izquierdo:
$$ 2a + 2b + 2c \geqslant 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ac} $$
Factorizamos el número 2 en ambos lados:
$$ 2(a + b + c) \geqslant 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac}) $$

Dividiendo toda la expresión entre 2, obtenemos la desigualdad buscada:
$$ \boxed{a + b + c \geqslant \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac}} $$