1. Reorganización de la expresión:
Restamos los términos del lado derecho para comparar la expresión con cero:
$$a^5 + b^5 - a^4b - ab^4 \geq 0$$

2. Factorización por agrupación:
Agrupamos los términos convenientemente para extraer factores comunes:
$$(a^5 - a^4b) + (b^5 - ab^4) \geq 0$$

Extraemos el factor común de cada paréntesis:
$$a^4(a - b) - b^4(a - b) \geq 0$$

Ahora, extraemos el factor común $(a - b)$:
$$(a - b)(a^4 - b^4) \geq 0$$

3. Descomposición del factor de cuarto grado:
Recordamos la diferencia de cuadrados $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$$(a - b)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \geq 0$$
$$(a - b)(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) \geq 0$$

Simplificando los términos repetidos:
$$(a - b)^2(a + b)(a^2 + b^2) \geq 0$$

4. Análisis de signos:
Analizamos cada factor bajo la condición inicial $a, b \geq 0$:

• $(a - b)^2$: Siempre es $\geq 0$ por ser un cuadrado perfecto.
• $(a + b)$: Como $a \geq 0$ y $b \geq 0$, su suma es $\geq 0$.
• $(a^2 + b^2)$: La suma de cuadrados de números reales siempre es $\geq 0$.

Dado que el producto de factores no negativos es siempre no negativo, la desigualdad se cumple.

$$ \boxed{a^5 + b^5 \geq a^4b + ab^4} $$