1. Expansión binomial:
Utilizamos el binomio de Newton para expandir $(a+b)^4$:
$$ (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$

2. Sustitución en la desigualdad:
Queremos verificar si:
$$ a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \ge a^4 + b^4 $$
Restamos $a^4 + b^4$ en ambos lados:
$$ 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 \ge 0 $$

3. Factorización:
Factorizamos el término común $2ab$:
$$ 2ab(2a^2 + 3ab + 2b^2) \ge 0 $$

4. Justificación pedagógica:

• Por condición del problema, $ab \ge 0$, por lo que $2ab \ge 0$.


• Analizamos el trinomio $2a^2 + 3ab + 2b^2$. Es una forma cuadrática cuyo discriminante ($\Delta = (3b)^2 - 4(2)(2b^2) = 9b^2 - 16b^2 = -7b^2$) es menor o igual a cero. Esto implica que el trinomio nunca cambia de signo y siempre es positivo (o cero si $a=b=0$).

Como ambos factores son no negativos, su producto es mayor o igual a cero.

$$ \boxed{(a+b)^4 \ge a^4 + b^4 \quad \text{si } ab \ge 0} $$